三角形の合同条件の見分け方！3つの違いと間違えやすい問題を解説
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この記事の著者
曽根 大樹 / 家庭教師のあすなろ 事務責任者
「三角形の合同条件は3つ覚えたけど、問題になるとどれを使うかわからない…」
「2辺と1つの角が等しければ、合同じゃないの？」
「図形の証明で、合同条件をいつも間違えてしまう！」
中2の数学で、こんなふうに困っていませんか？
三角形の合同条件は、どれも似た言葉なので、覚えるのが難しいですよね。
特に間違えやすいのが、「2組の辺とその間の角」と「1組の辺とその両端の角」の違いです。
でも、合同条件は言葉だけで丸暗記するより、等しい辺と角が、三角形のどこにあるのかを確認すると見分けやすくなります。
今回は、三角形の合同条件3つの違いを、具体的な例題でやさしく解説します。
合同条件に当てはまらないケースや、テストで間違えやすい問題も紹介するので、一緒に確認してみましょう。
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三角形の合同条件は3つ！まず違いを確認しよう
三角形が合同とは、2つの三角形が形も大きさも同じで、重ねるとぴったり一致することです。
三角形の合同を判断するための条件は、次の3つです。
- 3組の辺がそれぞれ等しい
- 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
この3つのうち、どれか1つを満たせば、2つの三角形は合同です。
条件① 3組の辺がそれぞれ等しい
これは、3つの辺の長さがすべて対応して等しい場合です。
例えば、2つの三角形があり、それぞれの辺の長さが、
3cm、4cm、5cm
だったとします。
3組の対応する辺がそれぞれ等しいので、2つの三角形は合同です。
この条件では、角の大きさが最初からわかっていなくても構いません。
条件② 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
これは、2組の辺と、その2辺にはさまれた角がそれぞれ等しい場合です。
例えば、三角形ABCと三角形DEFについて、
AB＝DE
AC＝DF
∠BAC＝∠EDF
なら、2つの三角形は合同です。
ここで大切なのは、∠BACが辺ABと辺ACの間にある角だということです。
2辺と1つの角が等しいだけではなく、その角が2辺の「間」にあることが重要です。
条件③ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
これは、1組の辺と、その辺の両端にある2つの角がそれぞれ等しい場合です。
例えば、三角形ABCと三角形DEFについて、
AB＝DE
∠BAC＝∠EDF
∠ABC＝∠DEF
なら、2つの三角形は合同です。
ここでは、辺ABの両端にある角Aと角Bが、それぞれ対応する角と等しくなっています。
「その間の角」と「その両端の角」はどう違う？
合同条件の中でも、特に混乱しやすいのがこの2つです。
まずは簡単な見分け方を覚えましょう。
2組の辺とその間の角は「辺・角・辺」
三角形ABCで、辺ABと辺ACに注目します。
この2辺は、点Aでつながっています。
そのため、2辺の間の角は∠BACです。
辺AB、角A、辺ACという並びになるので、
「辺・角・辺」
と考えるとわかりやすいでしょう。
1組の辺とその両端の角は「角・辺・角」
今度は、辺ABに注目します。
辺ABの両端は、点Aと点Bです。
そのため、両端の角は∠BACと∠ABCです。
角A、辺AB、角Bという並びになるので、
「角・辺・角」
と考えられます。
迷ったら、等しい辺と角に印を付けよう
図形の問題では、最初から合同条件を選ぼうとする必要はありません。
まず、等しいことがわかっている辺には同じ印を付けます。
次に、等しい角にも同じ印を付けます。
そのうえで、
「辺が3組ある？」
「辺が2組なら、その間の角もある？」
「辺が1組なら、その両端の角がある？」
という順番で確認しましょう。
【注意】2辺と1つの角が等しくても、合同とは限らない
ここは定期テストでも間違えやすいポイントです。
例えば、三角形ABCと三角形DEFで、
AB＝DE
AC＝DF
∠ABC＝∠DEF
だったとします。
2組の辺と1組の角がそれぞれ等しくなっています。
でも、これだけでは合同とは判断できません。
なぜ合同条件にならないの？
注目する2辺はABとACです。
この2辺の間の角は、∠BACです。
ところが、等しいとわかっているのは∠ABCです。
つまり、2辺の間の角ではありません。
「2辺と1つの角が等しい」と「2辺とその間の角が等しい」は違います。
3つの角が全部等しければ合同？
実は、3組の角がそれぞれ等しいだけでも、合同とは限りません。
例えば、すべての角が60°の三角形を考えてみましょう。
1辺が3cmの正三角形と、1辺が6cmの正三角形は、どちらも3つの角が60°です。
でも、大きさが違うため合同ではありません。
この2つは相似ですが、合同ではありません。
2組の角と1組の辺が等しい場合は？
三角形の内角の和は180°なので、2組の角がそれぞれ等しければ、残りの角も等しくなります。
そのため、対応する2組の角と1組の辺がそれぞれ等しい場合は、合同だと判断できます。
ただし、学校の証明では、3つの合同条件のどれに当てはまるかを明確にする必要があります。
例えば、等しいことがわかっている辺の両端にある角を示せば、
「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
という条件を使えます。
合同条件を見分ける3ステップ
合同条件を覚えていても、問題を見た瞬間に判断するのは難しいですよね。
そんなときは、次の順番で確認してみましょう。
ステップ1｜等しい辺を探す
まず、問題文や図から、等しい辺を探しましょう。
例えば、
AB＝DE
BC＝EF
CA＝FD
という3組の辺がわかっていれば、合同条件①が使えます。
ステップ2｜等しい角を確認する
辺が2組しかわからない場合は、その2辺の間の角が等しいか確認します。
例えば、
AB＝DE
AC＝DF
∠BAC＝∠EDF
なら、条件②です。
ステップ3｜辺と角の位置関係を確認する
辺が1組、角が2組わかっている場合は、等しい辺の両端にある角が等しいか確認します。
例えば、
AB＝DE
∠BAC＝∠EDF
∠ABC＝∠DEF
なら、条件③です。
このように、「等しいものが何個あるか」だけでなく、「どこにあるか」を確認することが大切です。
【例題1】3組の辺が等しい三角形を見分けよう
三角形ABCと三角形DEFについて、次のことがわかっています。
AB＝DE＝4cm
BC＝EF＝5cm
CA＝FD＝6cm
この2つの三角形は合同でしょうか？
解説
対応する3組の辺を確認します。
AB＝DE
BC＝EF
CA＝FD
の3組がそれぞれ等しくなっています。
したがって、
「3組の辺がそれぞれ等しい」
という合同条件が成り立ちます。
答えは、
△ABC≡△DEF
です。
この問題のポイント
3組の対応する辺が等しいとわかっていれば、角の大きさを計算する必要はありません。
ただし、三角形の頂点の対応順を間違えないように注意しましょう。
【例題2】2辺とその間の角を見つけよう
三角形ABCと三角形DEFについて、
AB＝DE＝5cm
AC＝DF＝7cm
∠BAC＝∠EDF＝60°
とします。
この2つの三角形は合同でしょうか？
解説
まず、辺ABと辺DEが対応しています。
次に、辺ACと辺DFが対応しています。
そして、∠BACと∠EDFは、それぞれ等しいとわかっている2辺にはさまれた角です。
したがって、
「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
という条件が成り立ちます。
答えは、
△ABC≡△DEF
です。
角の位置を必ず確認しよう
もし、等しいとわかっているのが∠ABCと∠DEFだけだったら、2辺の間の角ではありません。
角度が60°だから合同になるのではなく、等しい角の位置が重要です。
【例題3】1辺とその両端の角を見つけよう
三角形ABCと三角形DEFについて、
AB＝DE＝6cm
∠BAC＝∠EDF＝40°
∠ABC＝∠DEF＝70°
とします。
この2つの三角形は合同でしょうか？
解説
等しい辺はABとDEです。
辺ABの両端はAとB。
辺DEの両端はDとEです。
そして、
∠BAC＝∠EDF
∠ABC＝∠DEF
なので、辺の両端にある角もそれぞれ等しくなっています。
したがって、
「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
という条件が成り立ちます。
答えは、
△ABC≡△DEF
です。
証明問題では、合同条件をどう書けばいい？
合同条件を見分けられるようになったら、次は証明問題で使う練習をしてみましょう。
例えば、2つの三角形について、
AB＝DE
AC＝DF
∠BAC＝∠EDF
がわかっているとします。
証明では、まずこの3つの条件を書き出します。
そして、
「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので」
と、使った合同条件を書きます。
最後に、
△ABC≡△DEF
と結論を示します。
合同条件は正確な言葉で書こう
例えば、
「2辺と角が等しいから」
では、合同条件を正しく表せていません。
「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
と書きましょう。
三角形の名前は対応する順番で書こう
例えば、
△ABC≡△DEF
なら、対応する頂点は、
AとD
BとE
CとF
です。
頂点の順番は、合同な三角形の対応関係を示しています。
三角形の名前を適当に並べないようにしましょう。
証明全体の書き方は別記事で確認
図形の証明では、仮定・結論を確認したり、等しい辺や角の理由を書いたりすることも必要です。
証明の最初から最後までの書き方については、図形の証明がわからない中学生向けの記事も参考にしてみてください。
【練習問題】合同条件を見分けられるか5問でチェック
ここまで理解できたら、実際に問題を解いてみましょう。
以下では、三角形ABCと三角形DEFの対応する頂点を、AとD、BとE、CとFとします。
条件だけで合同だと判断できるか考えてみてください。
第1問｜3組の辺
AB＝DE
BC＝EF
CA＝FD
この条件で、2つの三角形は合同だといえますか？
第2問｜2辺とその間の角
AB＝DE
AC＝DF
∠BAC＝∠EDF
この条件で、2つの三角形は合同だといえますか？
第3問｜2辺と間ではない角
AB＝DE
AC＝DF
∠ABC＝∠DEF
この条件だけで、2つの三角形は合同だといえますか？
第4問｜1辺とその両端の角
AB＝DE
∠BAC＝∠EDF
∠ABC＝∠DEF
この条件で、2つの三角形は合同だといえますか？
第5問｜3組の角
∠BAC＝∠EDF
∠ABC＝∠DEF
∠ACB＝∠DFE
この条件だけで、2つの三角形は合同だといえますか？
練習問題の答えと解説
第1問｜合同といえる
3組の辺がそれぞれ等しいため、合同条件①が成り立ちます。
第2問｜合同といえる
2組の辺と、その間の角がそれぞれ等しいため、合同条件②が成り立ちます。
第3問｜この条件だけでは合同といえない
2組の辺と1組の角は等しいですが、その角が2辺の間にありません。
したがって、与えられた条件だけでは合同とは判断できません。
第4問｜合同といえる
1組の辺と、その両端の角がそれぞれ等しいため、合同条件③が成り立ちます。
第5問｜この条件だけでは合同といえない
3組の角がそれぞれ等しくても、三角形の大きさまで同じとは限りません。
したがって、合同であるとは判断できません。
間違えた問題から復習しよう
第1問を間違えたなら、3組の辺の合同条件。
第2・3問を間違えたなら、「2辺の間の角」の位置。
第4問を間違えたなら、「1辺の両端の角」の位置。
第5問を間違えたなら、合同と相似の違い。
を確認しましょう。
合同条件を覚えられないときに試したい勉強法
「3つの条件を何度も読んでいるのに、覚えられない…」
そんな子は、文字だけで覚えようとしているのかもしれません。
次の方法を試してみましょう。
1．三角形を3つ描いて、辺と角に印を付ける
ノートに三角形を3つ描きます。
1つ目には3辺に印。
2つ目には2辺とその間の角に印。
3つ目には1辺とその両端の角に印。
というように、自分で描き分けてみましょう。
2．名前を隠して、条件を説明する
三角形に付けた印を見ながら、
「これはどの合同条件？」
と自分に質問します。
答えを隠して、正しい言葉で説明できるか確認しましょう。
3．合同にならない例も覚える
「2辺と1つの角が等しい」
「3つの角が等しい」
という条件だけでは合同と判断できないことも確認しておきましょう。
合同になる例だけでなく、ならない例を見分ける練習も大切です。
4．翌日にも同じ問題を解いてみる
その場でわかった問題でも、翌日には忘れている場合があります。
同じ図を見て、条件を説明できるか確認しましょう。
合同条件が苦手な子に、親ができるサポートは？
「図形の証明は自分も苦手だった」
「どうやって教えればいいかわからない」
そんな親御さんもいると思います。
でも、難しい証明問題を最初から全部教える必要はありません。
まず、図の印を一緒に確認する
例えば、2辺と1つの角に印が付いていたら、
「その角は2辺の間にある？」
と聞いてみましょう。
これだけでも、合同条件を選ぶための確認になります。
「なぜその条件なの？」と聞いてみる
答えが合っていたら、
「どうして2組の辺とその間の角だと思ったの？」
と聞いてみる方法があります。
本人が説明できれば、位置関係を理解しているか確認できます。
一度に難しい証明問題を解かせない
最初は、合同条件を選ぶ問題だけでも構いません。
見分けられるようになったら、等しい辺や角の理由を書く練習、証明の完成へと進みましょう。
あすなろが大切にしているのは、合同条件を丸暗記で終わらせないこと
私たち家庭教師のあすなろでは、勉強が苦手な子が、学校の授業に合わせて一人でも勉強を進められるようになることを大切にしています。
三角形の合同条件も、ただ3つの言葉を覚えるだけでは、テストで使えない場合があります。
例えば、条件②がわからないなら、
「等しい2辺はどこ？」
「その間の角はどれ？」
と、図に印を付けながら確認する方法があります。
予習5分・復習10分を使って練習しよう
あすなろの「カンタン家勉法」では、学校の授業に合わせた予習5分・復習10分を基本にしています。
合同条件なら、例えば次のように活用できます。
【予習5分】
教科書にある三角形の図を見て、等しい辺と角に印を付ける。
【学校の授業】
先生がどの合同条件を使っているか確認する。
【復習10分】
授業で扱った図をもう一度見て、合同条件を自分で説明してみる。
※予習5分・復習10分だけで、すべての証明問題を解けるようになるという意味ではありません。
今日の課題を具体的に決めよう
例えば、
月曜日：3つの合同条件を図で描き分ける
火曜日：3辺が等しい問題を確認する
水曜日：2辺とその間の角の問題を解く
木曜日：1辺とその両端の角の問題を解く
金曜日：合同にならない例を見分ける
という予定です。
※これは記事用に作成した家庭学習の例です。
「証明を全部覚えよう」
ではなく、
「今日は2辺とその間の角を見分けよう」
というところから始めてみましょう。
詳しくは、あすなろのカンタン家勉法も参考にしてみてくださいね。
三角形の合同条件についてよくある質問
三角形の合同条件は何個ありますか？
中学校で学ぶ三角形の合同条件は3つです。
「3組の辺」
「2組の辺とその間の角」
「1組の辺とその両端の角」
がそれぞれ等しい場合です。
2辺と1つの角が等しければ合同ですか？
必ずしも合同とは限りません。
2辺とその間の角がそれぞれ等しい場合は合同ですが、間にない角が等しいだけでは合同を判断できない場合があります。
3つの角が全部等しい三角形は合同ですか？
必ずしも合同ではありません。
角がすべて等しくても、大きさが異なる三角形があるからです。
三角形の合同条件は、どの順番で覚えるといいですか？
まずは3組の辺がそれぞれ等しい条件を確認するとわかりやすいでしょう。
次に、2辺とその間の角、1辺とその両端の角を、図に印を付けて比較してみてください。
二等辺三角形の証明でも合同条件を使いますか？
使う場合があります。
例えば、二等辺三角形の底角が等しいことなどを証明する際に、三角形の合同を利用する方法があります。
ただし、問題によって必要な証明方法は異なります。
合同条件がわかれば、図形の証明も解けますか？
合同条件の理解は大切ですが、それだけですべての証明問題が解けるとは限りません。
等しい辺や角を示す理由、仮定と結論、三角形の対応関係なども確認しましょう。
まとめ｜三角形の合同条件は、辺と角の位置を見て判断しよう
三角形の合同条件は、次の3つです。
- 3組の辺がそれぞれ等しい
- 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
特に注意したいのは、条件②と③です。
2辺が等しい場合は、その間の角。
1辺が等しい場合は、その両端の角。
というように位置を確認しましょう。
また、2辺と間ではない角が等しい場合や、3つの角だけが等しい場合は、合同とは限りません。
今日の第一歩は、ノートに三角形を3つ描いて、それぞれの合同条件に当てはまる辺と角に印を付けること。
正しい言葉で説明できるか、確認してみてくださいね。
参考情報
お子さんの勉強でお困りのお母さんへ
- ゲームやYouTubeばっかりで全然勉強しない
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- テストではいつも平均点以下…
- 塾に行っても、なかなか結果が出ない
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そんなお子さんの状況なら『勉強が苦手』な子専門で36年の家庭教師あすなろの体験授業を受けてみませんか？
あすなろでは、どこよりもお子さんの気持ちに寄り添い、勉強が苦手な子にとって最高の勉強法を教えています。
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