図形の証明がわからない！中学生でも書ける基本の手順と練習法

「数学の計算問題はできるのに、証明になると全部白紙…」

「答えを見れば何となくわかるけど、自分では一行目すら書けない」

「三角形の合同条件は覚えたはずなのに、問題になると使えない」

そんなお悩み、ありませんか？

中学2年生になると、数学で図形の証明問題が出てきますよね。

今までは計算して答えを出せばよかったのに、突然「理由を説明しなさい」と言われる。

しかも解答欄が広くて、何をどこから書けばいいのかもわからない…。

これでは、お子さんが苦手意識を持ってしまうのも無理はありません。

でも、ここで一つ知ってほしいことがあります。

図形の証明は、最初からきれいな文章を考える必要はないんです。

大切なのは、問題でわかっていることを整理して、正しい理由を順番につなげること。

私たち家庭教師のあすなろでも、勉強が苦手な子には、いきなり難しい問題を解くのではなく「どこまでならできるのか」を確認することを大切にしています。

今回は、図形の証明が全くわからない中学生に向けて、最初の一行から証明を完成させるまでの手順を紹介します。

実際の例題を使って説明するので、お子さんと一緒に試してみてくださいね。

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図形の証明がわからないときは、まずこの5つの順番で考えよう

先に結論からお伝えします。

中学校で習う三角形の合同証明は、まず次の順番で考えてみましょう。

1. 何を証明するのか「結論」を確認する
2. 問題文に書かれた「仮定」を図に書き込む
3. 比べる2つの三角形を見つける
4. 等しい辺・角と、その理由を3組そろえる
5. 合同条件を使って証明を書く

もちろん、すべての図形の証明問題がこの順番だけで解けるわけではありません。

でも、基本的な三角形の合同証明なら、最初の練習として取り入れやすい方法です。

そもそも「証明」って何？

数学の証明とは、すでにわかっている条件や図形の性質を使って、あることが正しいと理由を示すことです。

たとえば、

「この2つの三角形は合同です」

と言うだけでは、証明としては不十分です。

「この辺とこの辺が等しい」

「この角とこの角も等しい」

「だから、この合同条件が使える」

と、理由をつなげていく必要があります。

「仮定」と「結論」を区別しよう

証明問題で最初につまずきやすいのが、この2つです。

• 仮定：最初から正しいものとして与えられている条件
• 結論：これから証明して正しいことを示す内容

たとえば、

「AB＝CD、BC＝DAである四角形ABCDについて、△ABCと△CDAが合同であることを証明しなさい」

という問題なら、

仮定：AB＝CD、BC＝DA

結論：△ABCと△CDAが合同である

となります。

ここで、まだ証明していない結論を、途中の理由として使わないようにしましょう。

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まずは覚えたい！三角形の合同条件は3つ

中学校で三角形の合同を証明するときは、合同条件を使います。

これはしっかり確認しておきたい基本です。

① 3組の辺がそれぞれ等しい

2つの三角形について、対応する3組の辺の長さがそれぞれ等しい場合です。

角の大きさが書かれていなくても、3組の辺がそろっていれば合同を示せます。

② 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

対応する2組の辺と、その2辺にはさまれた角がそれぞれ等しい場合です。

ここで注意したいのは、「その間の角」という部分。

2組の辺と角が1組等しいだけで、必ず合同になるわけではありません。

等しい角が、2つの辺の間にあるか確認しましょう。

③ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

対応する1組の辺と、その辺の両端にある2組の角がそれぞれ等しい場合です。

ただし、角が2組等しいという情報だけでは、三角形が合同とは限りません。

対応する辺が1組等しいことも必要です。

合同条件を覚えたのに使えない場合は？

条件を覚えるだけでは、実際の図形のどこに当てはまるのかわからない場合があります。

そんなときは、学校ワークの図形を見ながら、

「等しい辺はいくつある？」

「等しい角はどこ？」

「この条件なら、どの合同条件が使えそう？」

と確認してみましょう。

合同条件を丸暗記することに加えて、図の中から条件を見つける練習が大切です。

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【例題】三角形の合同証明を最初から最後まで書いてみよう

では、実際に証明を書いてみましょう。

今回は、中学2年生の基本的な問題を使います。

【問題】

線分ACとBDが点Oで交わっています。

A、O、Cはこの順に一直線上にあり、B、O、Dもこの順に一直線上にあります。

AO＝CO、BO＝DOのとき、△AOBと△CODが合同であることを証明しなさい。

※これは説明用に作成した例題です。

ステップ1｜結論を確認する

まず、何を証明すればいいでしょうか。

今回の結論は、

△AOB≡△COD

です。

つまり、この2つの三角形が合同であることを示します。

ステップ2｜仮定を確認する

問題文に書かれている条件は、

AO＝CO

BO＝DO

の2つです。

どちらも、最初から与えられている条件です。

図があれば、AOとCOに同じ印、BOとDOにも同じ印をつけてみましょう。

ステップ3｜図の中にある、もう一つの条件を探す

合同条件を使うには、対応する辺や角が3組必要です。

今のところ、等しい辺が2組あります。

「あと一つ足りない…」

そんなときは、交わっている2本の直線に注目してみましょう。

線分ACとBDがOで交わっているので、

∠AOB＝∠COD

となります。

これは、対頂角は等しいという性質によるものです。

これで、等しい辺が2組、等しい角が1組そろいました。

ステップ4｜合同条件を選ぶ

ここまでに見つかった条件を整理すると、

AO＝CO

BO＝DO

∠AOB＝∠COD

です。

∠AOBはAOとBOの間の角、∠CODはCOとDOの間の角です。

つまり、

「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」

という合同条件が使えます。

ステップ5｜証明を完成させる

それでは、まとめて書いてみましょう。

【証明の完成例】

△AOBと△CODにおいて、

仮定より、

AO＝CO ……①

BO＝DO ……②

対頂角は等しいので、

∠AOB＝∠COD ……③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

△AOB≡△COD

【証明終わり】

どうでしょうか。

最初からこの文章を全部考えようとすると難しく感じますよね。

でも、仮定を確認し、あと一つの条件を見つけ、合同条件に当てはめれば、何を書くかが決まってきます。

証明が苦手な子は、まず「等しいものを3組見つける」ところから練習してみましょう。

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証明が白紙になる子は、どこで止まっている？4つのチェックポイント

ここで、家庭教師のあすなろとして特にお伝えしたいことがあります。

図形の証明が苦手といっても、全員が同じところで困っているわけではありません。

だから、最初から完成した証明を何度も写す前に、どこからできなくなっているのか確認してみましょう。

1．何を証明するのかわからない

まずは問題文を読んで、

「最後に何を示す問題？」

と聞いてみてください。

これに答えられないなら、仮定と結論を区別するところから練習します。

2．比べる三角形が見つからない

結論はわかっていても、図の中に三角形がいくつもあると、どれを使えばいいかわからない場合があります。

そんなときは、結論に書かれている三角形を図の中で指してみましょう。

2つの三角形を別の色で囲む方法もあります。

ただし、色分けはあくまで補助です。大切なのは比べる図形を正しく特定することです。

3．等しい辺や角を見つけられない

問題文の条件はわかるけれど、それ以外に何を使えるかわからない場合です。

まずは、次のような基本的な性質を確認しましょう。

• 対頂角は等しい
• 共通する辺の長さは等しい
• 平行線の錯角・同位角は等しい

これらは図形の証明で使うことがあります。

ただし、条件なしに辺や角が等しいと決めつけてはいけません。

4．条件はわかるのに、文章にできない

等しい辺や角は見つかった。

合同条件も選べる。

でも、どう書けばいいかわからない。

そんな子には、先ほどの完成例を参考に、

「△○○と△○○において」

「仮定より」

「○○なので」

「よって、△○○≡△○○」

と、一つずつ理由をつなげる練習が考えられます。

「証明ができない」で終わらせず、「仮定はわかるけど、等しい角が見つからない」と具体的にできれば、次に練習する内容も見えてきます。

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答えを丸写ししても書けるようにならない…そんなときの練習法

証明の答えを見せると、

「なるほど！」

と言うのに、次の問題ではまた白紙。

そんなこともありますよね。

その場合は、最初から完成した証明を書かせるより、段階を分けて練習してみましょう。

練習1｜完成した証明から理由だけを隠す

まず、模範解答を見ながら証明の流れを確認します。

そのあと、

「仮定より」

「対頂角は等しいので」

などの理由を隠し、自分で答えてみましょう。

練習2｜等しい辺や角を自分で見つける

次に、模範解答を見ずに、等しい辺や角を3組探します。

この段階では、証明の文章を全部書けなくても構いません。

図に印をつけ、根拠を説明できるか確認しましょう。

練習3｜合同条件を自分で選ぶ

3組の条件がそろったら、

「どの合同条件に当てはまる？」

と考えます。

ここで迷う場合は、合同条件の3種類をもう一度確認します。

練習4｜最後に証明を全部書く

ここまでできたら、解答を隠して証明を最後まで書いてみましょう。

途中で止まったら、必要な部分だけ確認して構いません。

その後、似た問題でも自分で書けるか試してみます。

この練習方法は、完成した証明を最初から丸暗記するのではなく、必要な手順を一つずつ練習するための提案です。

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テストで証明が白紙にならないために、最初に書きたいこと

テストで証明問題を見ると、

「また証明だ…」

と諦めてしまう子もいるかもしれません。

そんなときは、完成した文章をすぐに考えなくても構いません。

まずは、

「何を示す？」

「問題文から何がわかる？」

「どの三角形を比べる？」

と確認してみましょう。

問題の条件に合わせて、仮定や等しい辺・角を整理するだけでも、証明を考える第一歩になります。

ただし、どこまで書けば部分点がもらえるかは、学校や問題の採点基準によって異なります。

「仮定を書けば必ず点数がもらえる」とは限らないので、その点は注意してください。

合同記号の頂点の順番にも注意

たとえば、

△AOB≡△COD

と書く場合、

AとC

OとO

BとD

がそれぞれ対応しています。

合同を示すときは、対応する頂点を同じ順番に書きましょう。

理由を省略しすぎない

「この角は等しいから」

ではなく、

「対頂角は等しいので」

というように、根拠も書けるようにしましょう。

数学の証明では、結論だけでなく、どうしてそう言えるのかが大切です。

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あすなろが大切にするのは、証明を丸暗記するより「できるところ」を増やすこと

私たち家庭教師のあすなろでは、勉強が苦手な子にも、一人でできる勉強のやり方を身につけてもらうことを大切にしています。

図形の証明でも、いきなり難しい証明を全部書かせる必要はないと考えています。

仮定は見つけられる。

等しい辺はわかる。

でも、対頂角の性質を忘れている。

そんな場合は、角の性質を確認するところから始めてもいいんです。

逆に、合同条件までわかっているなら、証明の文章を書く練習に進めます。

学校の授業に合わせて予習・復習する

あすなろの「カンタン家勉法」では、学校の授業に合わせた予習5分・復習10分を基本にしています。

図形の証明なら、たとえば次のように活用できます。

【予習5分】

次の授業で習う図形を見て、使いそうな用語やわからないところを確認します。

【学校の授業】

先生がどのように仮定を図へ書き込み、合同条件を選んでいるか意識して聞きます。

【復習10分】

授業で扱った基本的な証明を一つ選び、模範解答を閉じて等しい辺や角を探してみます。

これは家庭で取り入れるための例です。10分ですべての証明問題を解けるようになるという意味ではありません。

「今日はここまで」を具体的に決める

あすなろでは、家庭教師の指導日以外の勉強も大切にしており、「予習復習計画帳」を使って学習予定を立てています。

証明が苦手な子なら、

月曜日：合同条件を3つ確認する

火曜日：図の中から等しい辺を探す

水曜日：対頂角・平行線の角を確認する

木曜日：証明の穴埋め問題を解く

金曜日：短い証明を一つ完成させる

といった予定も考えられます。

※これは説明用の学習計画例であり、実際のすべての指導で使用している固定のカリキュラムではありません。

「証明の勉強をしなさい」

と言われても、何をすればいいかわからない子がいます。

だからこそ、今日やることを一つずつ決めることが大切なんです。

あすなろのカンタン家勉法や予習復習計画帳も、ぜひ参考にしてみてください。

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図形の証明が苦手な中学生によくある質問

図形の証明は暗記すれば解けますか？

合同条件や基本的な図形の性質を覚えることは必要です。

ただし、模範解答をそのまま暗記するだけでは、違う問題で使えない場合があります。

仮定から条件を見つける練習も取り入れましょう。

証明の書き出しは、毎回「△○○と△○○において」でいいですか？

三角形の合同証明では、2つの三角形を示す書き出しがよく使われます。

ただし、すべての証明問題で必ず同じ書き出しになるわけではありません。

問題の内容に合わせて考えましょう。

合同条件が覚えられません。どうすればいいですか？

まずは3種類の条件を確認し、図を見ながら、どの辺と角が等しいかを探す練習をしてみましょう。

言葉だけで覚えにくければ、教科書の図と一緒に確認する方法があります。

証明の問題が全部白紙の場合、何から始めればいいですか？

まずは仮定と結論を区別するところから始めましょう。

それができたら、図に条件を書き込み、比べる三角形を探す練習へ進みます。

最初から証明全文を完成させる必要はありません。

証明の途中で理由がわからなくなったら？

何が等しいのか、その理由は何かを分けて確認しましょう。

対頂角や平行線の性質など、前に習った内容があいまいな場合は、その部分へ戻っても構いません。

中3になっても証明が苦手です。中2から復習するべきですか？

中2で学ぶ三角形の合同や証明の基本があいまいなら、必要な部分へ戻る方法があります。

ただし、中2数学を最初から全部やり直す必要はありません。

今の問題を解くために、どの知識が足りないか確認しましょう。

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まとめ｜証明が白紙でも大丈夫。まずは「等しいものを探す」ことから

図形の証明ができないと、数学そのものが嫌になってしまう子もいると思います。

でも、証明は最初から難しい文章を全部考えなければいけないわけではありません。

まずは次の5つを確認してみましょう。

1. 何を証明するのか確認する
2. 仮定を図に書き込む
3. 比べる三角形を見つける
4. 等しい辺や角と理由をそろえる
5. 合同条件を使って証明を書く

そして、お子さんが途中で止まったら、

「何がわからないの？」

と一度に聞くより、

「どの三角形を比べるかわかる？」

「等しい辺は見つかった？」

と、一つずつ確認してみてください。

私たち家庭教師のあすなろが大切にしているのも、勉強が苦手な子の「わからない」を具体的にして、できるところから進めていくことです。

証明の解答欄が白紙だった子も、まずは仮定を見つけるところから始めてみませんか。

一つできたら、その次へ。

そんな勉強の積み重ねを大切にしていきたいですね。

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参考情報

• 家庭教師のあすなろ「勉強法の違い」
• 家庭教師のあすなろ「予習復習計画帳」